matematicas: 2014

GEOMETRÍA ANALÍTICA

La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, continúa con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. Actualmente la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones.

Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:

Dado la curva en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.

Dada la ecuación indeterminada, polinomio, o función determinar en un sistema de coordenadas la gráfica o curva algebraica de los puntos que verifican dicha ecuación.

Lo novedoso de la geometría analítica es que representa las figuras geométricas mediante fórmulas del tipo , f(x) = y, donde f es una función u otro tipo de expresión matemática: las rectas se expresan como ecuaciones poli nóminas de grado 1 (por ejemplo , 2x + 6y = 0), las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones poli nóminas de grado 2 (la circunferencia X² + y² = 4, la hipérbola xy = 1)

Localización de un punto en el plano cartesiano

Como distancia a los ejes

En un plano (v.g. papel milimetrado) se traza dos rectas orientadas perpendiculares entre sí (ejes) —que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical—, y cada punto del plano queda vocalmente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las coordenadas, quedará representado por un par ordenado (x,y), siendo x la distancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje vertical) e y la distancia al otro eje (al horizontal).

En la coordenada x, el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha sobre el eje horizontal (eje de las abscisas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada y, el signo positivo (también se omite) indica que la distancia se toma hacia arriba sobre el eje vertical (eje de ordenadas), tomándose hacia abajo si el signo es negativo (en ningún caso se omiten los signos negativos).

A la coordenada x se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la y se la denomina ordenada del punto.

Los puntos del eje de abscisas tienen por lo tanto ordenada igual a 0, así que serán de la forma (x,0), mientras que los del eje de ordenadas tendrán abscisa igual a 0, por lo que serán de la forma (0.y).

El punto donde ambos ejes se cruzan tendrá por lo tanto distancia 0 a cada uno de los ejes, luego su abscisa será 0 y su ordenada también será 0. A este punto el (0,0) se le denomina origen de coordenadas.

Como proyección sobre los ejes

Se consideran dos rectas orientadas, (ejes), perpendiculares entre sí, x e y, con un origen común, el punto O de intersección de ambas rectas.

Teniendo un punto P, al cual se desea determinar las coordenadas, se procede de la siguiente forma:

Por el punto P se trazan rectas perpendiculares a los ejes, éstas determinan en la intersección con los mismos dos puntos, P' (el punto ubicado sobre el eje x) y el punto P'' ( el punto ubicado sobre el eje y).

Dichos puntos son las proyecciones ortogonales sobre los ejes x e y del punto P.

A los Puntos P' y P'' le corresponden por número la distancia desde ellos al origen, teniendo en cuenta que si el punto P' se encuentra a la izquierda de O, dicho número será negativo, y si el punto P'' se encuentra hacia abajo del punto O, dicho número será negativo.

Los números relacionados con P' y P'', en ese orden son los valores de las coordenadas del punto P.

Ejemplo 1: P' se encuentra a la derecha de O una distancia igual a 2 unidades. P'' se encuentra hacia arriba de O, una distancia igual a 3 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (2 , 3).

Ejemplo 2: P' se encuentra a la derecha de O una distancia igual a 4 unidades. P'' se encuentra hacia abajo de O, una distancia igual a 5 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (4 , -5).

Ejemplo 3: P' se encuentra a la izquierda de O una distancia igual a 3 unidades. P'' se encuentra hacia abajo de O, una distancia igual a 2 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (-3 , -2).

Ejemplo 4: P' se encuentra a la izquierda de O una distancia igual a 6 unidades. P'' se encuentra hacia arriba de O, una distancia igual a 4 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (-6 , 4).

Ecuaciones de la recta en el plano

Una recta es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano tales que, tomados dos cualesquiera de ellos, el cálculo de la pendiente resulta siempre igual a una constante.

La ecuación general de la recta es de la forma:

Ax + By + C = 0

cuya pendiente es m = -A/B y cuya ordenada al origen es b = -C/B.

Una recta en el plano se representa con la función lineal de la forma:

y = Mx + b

Como expresión general, ésta es conocida con el nombre de ecuación pendiente-ordenada al origen y podemos distinguir dos casos particulares. Si una recta no corta a uno de los ejes, será porque es paralela a él. Como los dos ejes son perpendiculares, si no corta a uno de ellos forzosamente ha de cortar al otro (siempre y cuando la función sea continua para todos los reales). Tenemos pues tres casos:

recta oblicua