sábado, 14 de diciembre de 2013
ECUACIONES MATRICIALES
ECUACIONES MATRICIALES
Una
ecuación matricial es una ecuación donde la incógnita es una matriz. Para
resolver una ecuación matricial se transforma la ecuación inicial en otra
equivalente usando las propiedades de las matrices. Es muy importante tener en
cuenta que las matrices no son conmutativas, por ello, si se quiere multiplicar
una ecuación por determinada matriz hay que hacerlo en ambos términos de la
igualdad por el mismo sitio. Supongamos que tenemos la ecuación matricial A·X=B-C,
esta ecuación tendrá solución si A es invertible. Multiplicamos a la izquierda
por A-1 quedando A-1A·X=A-1(B-C) de ahí se deduce que X=A-1(B-C). Veámoslo con
matrices.
Método de Gauss
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se aplica
el método de Gauss. Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Sea el sistema,
2x + 5y - z = -4
3x – 2y – z= 2
Su matriz ampliada asociada es
Ahora resolvemos por el método de Gauss sabiendo que la
primera columna corresponde a los coeficientes de la x, la segunda a los
de la y, la tercera a los de la z y la cuarta a los términos
independientes:
De este modo, el sistema tiene la solución única
x = 2, y = -1, z = 3.
La resolución de sistemas de
ecuaciones lineales por matrices, aplicando el método de Gauss u otros, es una
de las múltiples aplicaciones que tienen éstas.
Espero que este link les sea de gran ayuda
CASOS DE FACTORIZACIÓN
CASOS DE FACTORIZACIÓN
Primer caso
El primer caso de factoreo se divide en dos partes que
son: factor común monomio y factor común polinomio
Factor común
monomio
Es una expresión algebraica en
la que se utilizan exponentes naturales de variables literales que constan de
un solo término si hubiera + ó – seria binomio, un número llamado coeficiente.
Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la
potencia de exponentes naturales. Se denomina polinomio a la suma de varios
monomios. Un monomio es una clase de polinomio con un único término.
5a2 - 15ab - 10 ac
El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los
factores literales es a, por lo tanto
5a2 - 15ab - 10 ac
= 5a·a - 5a·3b - 5a · 2c = 5a(a - 3b - 2c)
Factor común polinomio
No todo polinomio se puede descomponer
en 2 o más factores de 1, pues del mismo modo que, en Aritmética, hay números
primos que solo son divisibles por ellos mismos y por 1, hay expresiones
algebraicas que solo son divisibles por ellas mismas y por 1, y que, por tanto
no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así a+b no puede
descomponer en dos factores distintos de 1 porque solo es divisible por a+b y
por 1.
EJEMPLO 1:
x (a+b)+m(a+b)
x(a+b)+m(a+b)=(a+b) (x+m) r//.
SEGUNDO CASO
FACTOR COMUN
POR AGRUPACION
Se llama factor común por
agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en
grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.
Cuando pueden reunirse en
grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor
común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis,
se la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de
polinomios.
Tratar desde el principio
que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará más sencillo el
resolver estos problemas.
EJEMPLO1
2ax + 2bx - ay + 5a - by +
5b
Agrupo los términos que
tienen un factor común:
(2ax - ay +
5a) + (2bx - by + 5b)
Saco el factor común de cada
grupo:
a (2x - y +
5 ) + b (2x - y + 5 )
Como las expresiones
encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:
(2x -y +5)(a
+ b)
TERCER CASO
TRINOMIO
CUADRADO PERFECTO
Es igual al cuadrado de un
binomio. Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio
de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el
otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.
Ejemplo:
400x10 + 40x5
+ 1 = (20 x5 + 1) (20 x5 + 1) = (20 x5 + 1)2
CASO CUATRO
DIFERENCIA DE CUADRADOS
Se identifica por tener dos
términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por
medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y
otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces.
Ejemplo:
49 x2 y6 z10
– a12 = (7 x y3 z5 + a6) * (7 x y3
z5 – a6)
CASO ESPECIAL
La regla empleada en los ejemplos anteriores es aplicable a las
diferencias de cuadrado en que uno o ambos cuadrados son expresiones
compuestas.
Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a + b)2 es (a
+ b) La raíz cuadrada de c2 es
c
Multiplica la suma de las raíces, (a + b + c) por la diferencia entre la
raíz del minuendo y la del Sustraendo (a + b - c)
Ejemplo:
(a + x)2 - (x + 2)2
(a + x)2 -
(x + 2)2 = [(a + x) + (x + 2)] * [(a + x) - (x + 2)]
(a + x)2 -
(x + 2)2 = [a + x + x + 2] * [a + x - x - 2]
(a + x)2 -
(x + 2)2 = [a + 2x + 2] * [a - 2]
CASOS ESPECIALES
COMBINACIÓN DE LOS CASOS 3 Y 4
Estudiamos a continuación la descomposición de expresiones compuestas en
las cuales mediante un arreglo conveniente de sus términos se obtienen uno o
dos trinomios cuadrados perfectos y descomponiendo estos trinomios (caso 3) se
obtiene una diferencia de cuadrados (caso 4)
Ejemplo
a2 + 2ab + b2 – 1
a2 + 2ab +
b2 – 1 = (a2 + 2ab + b2) – 1
a2 + 2ab +
b2 – 1 = (a + b)2 – 1
a2 + 2ab +
b2 – 1 = [(a + b) + 1] * [(a + b) - 1]
a2 + 2ab +
b2 – 1= [a + b + 1] * [a + b - 1]
CASO 5
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION
Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados
perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el de
la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuanto debe
ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la
mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se
armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos
una diferencia de cuadrados.
1) 49m4 – 151m2 n4 + 81n8
49m4 – 151m2 n4 + 81n8
+ 25 m2 n4 - 25 m2
n4
49m4 –126m2
n4 + 81n8- 25 m2 n4 = (49m4
– 126m2 n4 + 81n8) - 25 m2n4
(49m4 –
126m2 n4 + 81n8) - 25 m2 n4
(7m2 – 9n4)2
- 25 m2 n4
(7m2 – 9n4)2
- 25 m2 n4 = [(7m2 – 9n4) + 5mn2]
* [(7m2 – 9n4) - 5mn2]
(7m2 – 9n4)2
- 25 m2 n4 = [7m2 – 9n4 + 5mn2]
* [7m2 – 9n4 - 5mn2]
49m4 –
151m2 n4 + 81n8= [7m2 + 5mn2
– 9n4] * [7m2 - 5mn2 – 9n4]
CASO 6
TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c
Trinomios de la forma x2 + bx + c son trinomios como
x2 + 5x + 6
a2 – 2a – 15
m2 + 5m – 14
y2 – 8y + 15
Que cumplen las condiciones siguientes:
• El coeficiente del primer término es 1
• El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
• El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1
y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
• El tercer termino es independiente de la letra que aparece
en el primer y segundo termino y es una cantidad cualquiera, positiva o
negativa.
REGLA PRACTICA PARA FACTORAR UN TRINOMIO DE LA FORMA x2 +
bx + c
• El
trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es “x”, o
sea la raíz cuadrada del primer termino del trinomio.
• En el
primer factor, después de “x” se escribe el signo del segundo termino del
trinomio y en el segundo factor, después de “x” se escribe el signo que resulta
de multiplicar el signo del segundo termino del trinomio por el signo del
tercer termino del trinomio.
• Si los dos
factores binomios tienen en los medios signos iguales se buscan
dos números
cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo
producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números
son los segundos términos de los binomios.
• Si los dos
factores binomios tienen en los medios signos distintos se buscan dos números
cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo
producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de
estos números es el segundo término del primer binomio y el menor, el segundo
término del segundo binomio
Ejemplos
x2
+ 6x – 216 = (x + 18) * (x - 12)
CASO ESPECIAL DEL CASO 6
El procedimiento anterior es aplicable a la factorización
de trinomio que siendo de la forma x2+bx+c difieren algo de los
estudiados anteriormente.
Ejemplo:
X4-5x2-50
=
El primer término de cada factor binomio será la raíz
cuadrada de X4 o sea X2
X4-5x2-50
= (X2 - ) (X2
+ )
Buscamos dos números cuya diferencia (signos distintos en
los binomios) sea 5 y cuyo producto sea 50. Esos números son 10 y 5 tendremos:
X4-5x2-50
= (X2 - 10) (X2 + 5)
Ejemplos
x2 – 6 – x
= x2 – x - 6
x2 – x – 6
= (x - 3) * (x + 2)
CASO 7
TRINOMIO DE LA FORMA ax2+bx+c
Condiciones que debe cumplir un trinomio de la forma ax2+bx+c:
El primer término tiene un coeficiente mayor que 1 y
tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado.
El segundo término tiene la misma letra que el primero
pero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o
negativa.
El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o
negativa sin ninguna letra en común con el 1 y 2 términos.
Ejemplo:
6x2 -7x -3
1) Se multiplica el coeficiente del
primer término” 6” por todo el trinomio, dejando el producto del 2 término indicado:
6(6x2 -7x +3) =36x2
-6(7x) -18
2) Se ordena tomando en cuenta que 36x2
= (6x)2 y 6(-7x) = -7(6x), escribiéndolo de la siguiente manera:
(6x) 2 -7(6x) -18
3) Luego se procede a factorar (6x)
2 -7(6x) -18 como un problema del Caso VI. Con una variante que se
explica en el Inciso 6°
4) Se forman 2 factores binomios con la
raíz cuadrada del primer término del trinomio: (6x- )(6x+ )
5) Se buscan dos números cuya diferencia
sea -7 y cuyo producto sea -18 esos números
son -9 y +2 porque: -9 +2 = -7 y (-9) (2) = -18= (6x-9)(6x+2)
6) Aquí está la variante: Como al
principio multiplicamos el trinomio por “6″, entonces ahora los factores
binomios encontrados, los dividimos entre”6″
(6x-9)(6x+2) / 6; como ninguno de los
binomios es divisible entre “6″ entonces descomponemos el “6″ en dos factores
(3y2), de manera que uno divida a un factor binomio y el segundo divida al
otro. Así: (6x-9) / 3 y (6x+2) / 2, y estos cocientes quedarían así:(2x-3) (3x+1)
EJEMPLO:
15x² + x - 2 = (5x + 2) (3x
- 1)
CASO 8
CUBO PERFECTO DE BINOMIOS
Debemos tener en cuenta que los productos notables nos
dicen que:
(a+b)3 = a2 +3a 2 b+3 a
b 2 +b3 y (a-b)3 = a2-3a 2 b+3ab 2
- b3
La fórmula de arriba nos dice que para una expresión
algebraica ordenada con respecto a una parte literal sea el cubo de un binomio,
tiene que cumplir lo siguiente:
1. Tener cuatro términos.
2. Que el primer término y el último sean cubos
perfectos.
3. Que el segundo término sea más o menos el triplo de la
primera raíz cúbica elevada al cuadrado que multiplica la raíz cúbica del
último término.
4. Que el tercer término sea el triplo de la primera raíz
cúbica por la raíz cubica del último término elevada al cuadrado
Si todos los términos de la expresión algebraica son
positivos, la respuesta de la expresión dada será la suma de sus raíces cúbicas
de su primer y último término, y si los términos son positivos y negativos la
expresión será la
EJEMPLO:
8a3 -36a2b+54ab2-27b3
La raíz cúbica de 8a3 es 2a
La raíz cúbica de 27b3es 3b
3(2 a)2(3b) = 36a2 b, segundo
término
3(2 a) (3b)2 = 54ab2, tercer
término
Y como los términos son alternativamente positivos y
negativo, la expresión dada es el cubo de:
R. (2a -3b)3
CASO 9
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
Pasos
para resolver el ejercicio:
1.
Descomponemos en dos factores.
2.
En el primer factor se escribe la suma o la diferencia según sea el caso, de
las raíces cúbicas de los dos términos.
3.
En el segundo factor se escribe la raíz del primer termino elevada al cuadrado,
empezando con el signo menos y de ahí en adelante sus signos alternados (si es
una suma de cubos) o con signo más (si es una diferencia de cubos) el producto
de la primera raíz por la segunda, más el cuadrado de la segunda raíz.
La
fórmula (1) nos dice:
REGLA
1 la suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1.
La suma de sus raíces cúbicas
2.
El cuadrado de la primera raíz, menos la multiplicación de las dos raíces, más
el cuadrado de la segunda raíz. a3 +b3 =(a+b) (a2-ab+b2)
La
fórmula (2) nos dice:
REGLA
2
La
diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1.
La diferencia de sus raíces cúbicas
2.
El cuadrado de la primera raíz, más el cuadrado de la segunda raíz.
a3 -
b3 =(a-b) (a2+ab+b2)
EJEMPLO:
27x3 + 125 y9 = (3x+5y3)
(9x2-15x y3+25y6)
CASO 10
SUMA O
DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES
Procedimiento:
Se aplican los siguientes criterios:
Criterios de divisibilidad de expresiones de la forma an + - bn
Criterio 1: an –
bn es divisible por a - b siendo n par o impar
Criterio 2: an –
bn es divisible por a + b siendo n impar
Criterio 3: an –
bn es divisible por a + b siendo n es par
Criterio 4: an +
bn nunca es divisible por a - b
Pasos para resolver
la suma de dos potencias iguales
Factorar x5 +32
1.- Encontramos la raíz quinta de los términos:
Raíz quinta de x5
= x; raíz quinta de 32 = 2
2.- Formamos el primer factor con las raíces: (x +2)
3.- Formamos el segundo factor:
(x4 –
x3(2) +x2(2)2 – x (2)3 + (2)4) = (x4 – 2x3 +
4x2 – 8x + 16)
x5 +32 = (x +2) (x4 – 2x3
+ 4x2 – 8x + 16)
Cuando el primer factor es suma (x+1), los signos del
segundo factor son alternativamente “+” y “–”
Cuando el primer factor es una diferencia (x-1), los
signos del segundo factor son todos positivos “+”
Ejemplo
x7+128
1.- Encontramos la raíz
séptima de los términos:
Raíz séptima de x7
= x; raíz séptima de 128 = 2
2.- Formamos el primer
factor con las raíces: (x +2)
3.- Formamos el segundo
factor:
(x6 -x5(2)+
x4(2)2 - x3(2)3 +x2(2)4
- x(2)5 + (2)6)= (x6-2x5+4x4-8x3+16x2-32x+64)
Entonces como respuesta de x7+128
tenemos:
(x + 2)(x6 -2x5+5x4-8x3+16x2-32x+64)
solución
Combinación de casos de
factores
¿Que es una
combinación de casos?
Esto quiere decir que en un solo ejercicio hay dos o más
casos de factorización y hay que distinguir cada caso que se encuentre en el
ejercicio.
Ejemplo:
2x2 - 18 = 2(x2 - 9) 2(x + 3) (x - 3) en
este ejercicio tenemos factor común y diferencia de cuadrados
3x2 + 30x + 75 = 3(x2 + 10x + 25) =3(x + 5)2
en este ejercicio tenemos Factor Común y
Trinomio Cuadrado Perfecto
5x3 + 40 = 5(x3 + 8) = 5(x + 2) (x2 - 2x +
4) en este ejercicio tenemos Factor
Común y Suma o Resta de Potencias de Igual Grado
30a4x - 15a3xz - 10a3y + 5a2yz =
5a2 (6a2x - 3axz - 2ay + yz) =
5a2 [3ax (2a - z) + y (-2a + z)] =
5a2 [3ax (2a - z) – y (2a - z)] =
5a2 (2a - z) (3ax - y)
5a2 (6a2x - 3axz - 2ay + yz) =
5a2 [3ax (2a - z) + y (-2a + z)] =
5a2 [3ax (2a - z) – y (2a - z)] =
5a2 (2a - z) (3ax - y)
En este ejercicio tenemos Factor
Común y Factor Común en Grupos
2ax2 + 6ax - 20a = 2a (x2 + 3x - 10) = 2a(x
- 2) (x + 5) En este ejercicio tenemos Factor Común y
Séptimo Caso
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