FUNCIÓN CUADRÁTICA

FUNCIÓN CUADRÁTICA

FUNCIÓN CUADRÁTICA Y ECUACION DE SEGUNDO GRADO

Una función cuadratica o función de segundo grado es una función polinomica definida como: Una función cuadrática es aquella que puede describirse de la forma:

OBJETIVOS DE ESTA FUNCIÓN

1. Conocer y aplicar los conceptos matemáticos asociados al estudio de la función cuadrática.
2. Graficar una función cuadrática determinando vértice eje de simetria y concavidad.
3. Indicar las caracteristicas básicas de una parábola átravez del analisis del discriminaste.
4. Determinar las intersecciones de la párabola con los ejes cartesianos.
5. determinar las raíces de una ecuación de segundo grado.

EJEMPLOS:

INTERSECCIÓN CON EJE Y

EN LA FUNCIÓN CUADRATICA, f(x) = ax² + bx + c, el coeficiente (C)

indica la ordenada del punto donde la parábola intersecta el eje (Y).

CONCAVIDAD DE LA FUNCIÓN

En la función cuadrática, f(X) = ax² + bx + c, el coeficiente (a) indica si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo.

EJEMPLO MAS CLARO DE ESTA ECUACIÓN GRÁFICA

En la función, f(X) = x² - 3x - 4,   a = 1 y c = -4.

Luego la parábola intersecta, al eje y en el punto (0, -4) y es cóncava hacia arriba.

CLASE # 16

CLASE # 16

MÉTODO DE SUSTITUCION

MÉTODO DE SUSTITUCION PARA UN SISTEMA DE ECUACION

Es el método para resolver ecuaciones algebraicas sustituyendo una variable con una cantidad equivalente de terminos de otras variables de manera que el número toral de incógnitas se resduzca.

PASOS PARA RELAIZAR ESTE MÉTODO

• Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

• Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita

• Se resuelve la ecuación

• El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejadas la otra incógnita

• Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sitema

EJEMPLO

Despejemos las incógnitas:

2x = 8 - y

3x - 2y = 5

Ahora intercambiamos terminos y resolvemos el ejercicio

y = 8 - 2x

2x + y = 8

x = 8 - y

      2

Una vez ya intercambiados los terminos remplazamos lo valores por las respuestas q salieron.

3x - 2(8 - 2x) = 5

ya habiendo remplazado por los valores realizamos las multiplicación que tenemos en el ejrecicio

3x - 16 + 4x = 5

Una vez multiplicado pasamos las  X al lado izquierdo y a los que no tiene X al lado derecho

3x + 4x = 5 + 16

Una vez pasado las X al lado izquierdo resolvemos las sumas o las restas que tenemos y reducimos

7x = 21

Ahora pasamos el numero q esta multiplicando a la X al otro lado a dividir y simplificamos para reducir terminos

       3
x = 21
       7
       1
Y por ultimo obtenemos nuestra respuesta

x = 3

Ahora tomamos la respuesta que nos salio y remplazamos por X y asi obtenemos la respuesta de y

2(3) + y = 8
6 + y = 8
y = 8 - 6
y = 2

ECUACIONES DE IGUALDAD

ECUACIONES DE IGUALDAD

MÉTODO DE IGUALDAD

Este método consiste en una pequeña variante del antes visto de sustitución. Para resolver este método de ecuaciones hay que despejar una incógnita, la misma en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejos con los que se obtiene una ecuación de primer grado.

FASES DEL PROCESO

Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.

Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendola ya hallada en una de las ecuaciones despejadas de primer grado.

EJEMPLO DE ESTE MÉTODO

Tenemos un ejercicio planteado para proseguir a resolverlo.

-24x + 21y = 12
24x - 12y = 24

Ahora empesamos a despejar las incógnitas que son (x) (y) y sacar el resultado que esta pidiendo.

-24x = 12 - 21y                X= 12 – 21y

                                                 24

24x = 24 + 12y                X=24 + 12y

                                                24

Una vez que hemos puestos en sus respectivos lugares los terminos pasamos a seguir resolviendolos.

           -24(12 - 21y) = 24(24 + 12y)

Despúes de haber puestos los terminos en sus respesctivos lugares procedemos a multiplicarlos. 

12 – 21y                          24 + 12y

         -24                                     24  

288-504y                         -576-288y

Una vez q esta multiplicado el ejercicio nos queda de la siguiente manera

   288 - 504y = -576 - 288y

   - 504y + 288y = -576 - 288

             -216y = 864

                        4

                  Y = 864

                       216 

                        1

                   Y = 4

Ahora despejamos (X) e intercambiamos valores y nos da el resultado. del despeje de (X).

X = 12 – 21 (4) 

         24

Una vez despejado y multiplicado, restado o sumado nos queda de respuesta lo siguiente.

     3

X = 72

    24

     1

x = 3  

COMPROBACIÓN

Ahora tomamos las dos respuesta que obtuvimos y la remplazamos por (x) y (Y)     

                  24(3) - 12 (4) = 24

                  72 - 48 = 24

                        24 = 24

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

FUNCIONES LINEALES

Una función lineal es una función polinomio de primer grado, es decir, una función cuya representaciones el plano cartesiano es una linea recta. esta función se puede escribir como; donde m y b son constantes reales; x, y es una variable real.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

1. Se despeja la función
2. Se constituye una de colores, basta con dos planos
3. Se unen los puntos por una linea recta, prolongándola de tal modo que este representada en todo el plano.

PASOS NECESARIOS PARA REPRESENTAR GRÁFICAMENTE UNA FUNCIÓN

Hasta ahora sabíamos representar las funciones elementales utilizando las propiedades de estas, pero ya estamos en condiciones de representar cualquiera.

Se las puede representar siguiendo estos pasos:

1. Dominio
2. Puntos de corte en los ejes
3. Signos de la función
4. Asintonas y ramas infinitivas
5. Monotonía y extremos relativos
6. Curvatura y puntos

EJEMPLOS DE GRÁFICOS

PRESENTACIÓN DE DIAPOSITIVAS Y ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON ENUNCIADOS

PRESENTACIÓN DE DIAPOSITIVAS Y ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON ENUNCIADOS

PRESENTACIÓN DE DIAPOSITIVAS

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON ENUNCIADOS

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita son todas aquellas que se pueden escribir de la siguiente forma:

                      ax + b = 0

Donde x es la variable, a y b son números reales y a es diferente de cero, Estas ecuaciones se identifican verificando que la variable no tenga exponente.

SOLUCIÓN


La solución de una ecuación de primer grado con una incógnita es siempre un solo valor de la variable. En algunos casos se puede conocer la solución por simple inspección, por ejemplo, para la ecuación 7 - x = 4 es facil deducir que la solución es x = 3 porque 7 - 3 = 4. Sin embargo, en la mayoría de los casos es necesario seguir un procedimiento algebraico para encontrar la solución, sobretodo si la ecuación contiene fracciones y/o radicales.
La ecuación está solucionada cuando es posible presentarla como x = n donde n es la solución. cuando la ecuación tiene esa forma se dice que la variable esta despejada.

PROCEDIMIENTO PARA ENCONTRAR LA SOLUCIÓN

Para encontrar la solución se realizan varias operaciones sobre los dos miembros de la ecuación utilizando las propiedades de la igualdad y las propiedades de las operaciones inversas.

Si a los dos miembros se les suma un número, se les resta un numero, se multiplican por un número, se dividen entre un número, se elevan a la misma potencia o se obtiene su raíz enésima la igualdad se mantiene.

Si a un miembro de la ecuación se le suma y resta el mismo número, se multiplica y se divide por el mismo número o se eleva a una potencia n y se obtiene su raiz enésima al mismo tiempo ese miembro permanece inalterado y la igualdad se mantiene.

Se busca que los términos que contienen a la variable pasen al primer miembro y que los términos que no contienen a la variable se pasen al segundo miembro.

Ejemplo. Resolver la ecuación 2x + 3 = 21 - x.

El término 2x se mantiene en el primer miembro (a la izquierda del =) porque contiene a la variable.

El término 3 se quita del primer miembro porque no contiene a la variable. Esto se hace restando 3 a los dos miembros

El término 21 se mantiene en el segundo miembro (a la derecha del =) porque no contiene a la variable.

El término - x se quita del segundo miembro porque contiene a la variable. Esto se hace sumando x a los dos miembros

Se reducen términos semejantes

   2x + 3 - 3 + x = 21 - x - 3 + x

                3x = 18

El número 3 que multiplica a x se debe quitar para dejar despejada la variable. Para ello se dividen ambos miembros de la ecuación por 3.

            (3x)/3 = (18)/3

                  x = 6

Ahora la variable está despejada y se ha solucionado la ecuación. Para comprobar que x = 6 es la solución de la ecuación se evalúa numéricamente cada miembro y se verifica la igualdad.

         2(6) + 3 = 21 - (6)

         12 + 3 = 15

             15 = 15

Con esto se comprueba que la ecuación ha sido solucionada correctamente.

EJERCICIOS EN CLASE

EJERCICIOS EN CLASE

• TENEMOS UN EJERCICIO DE ECUACIÓN DE PRIMER GRADO LO PRIMERO QUE HACEMOS ES IGUALARLO A CERO

1+2X – 1-2X  =-  3X-14

1+3X     1-3X       1-9X²   

• UNA VEZ QUE ESTA IGUALADO A CERO VEMOS QUE TENEMOS UNA DEFERENCIA DE CUADRADOS Y LA RESOLVEMOS

1+2X – 1-2X  +  3X-14   =  0

1+3X     1-3X       1-9X²   

• YA RESUELTA LA DIFERENCIA DE CUADRADOS PROCEDEMOS A SACAR EL MÍNIMO COMÚN DIVISOR

1+2X – 1-2X  +        3X-14          =  0

1+3X     1-3X      (1+3X) (1-3X)       

• UNA VEZ QUE HEMOS OBTENIDO EL MÍNIMO COMÚN DIVISOR DIVIDIMOS PARA EL DENOMINADOR Y LO MULTIPLICAMOS CON EL NUMERADOR

(1+2X)(1+3X)–(1-2X) (1-3X)  + 3X-14    =  0

              (1+3X) (1-3X)       

• AHORA MULTIPLICAMOS EL NUMERADOR LO QUE ESTA ENTRE PARÉNTESIS 

1+2X                             1-2X

1+3X                             1-3X

1+2X-3X-6X²                1-2X+3X-6X² 

• UNA VEZ QUE HEMOS MULTIPLICADO LOS NUMERADORES PROCEDEMOS A PASAR EL DENOMINADOR A MULTIPLICAR AL CERO QUIERE DECIR QUE LO PASAMOS AL LADO DERECHO 

1+2X-3X-6X²–1+2X-3X+6X²+3X-14=0(1+3X) (1-3X) 

• UNA VEZ QUE HEMOS MULTIPLICADO TODO EL EJERCICIO NOS A QUEDADO ASÍ

 1+2X-3X-6X² – 1+2X-3X+6X² +3X-14 = 0

• EN ESTE PASO PROCEDEMOS A SIMPLIFICAR Y A REDUCIR TÉRMINOS

1+2X-3X-6X² – 1+2X-3X+6X² +3X-14 = 0

• UNA VEZ QUE HEMOS REDUCIDOS TÉRMINOS EL EJERCICIO NOS QUEDA DE LA SIGUIENTE MANERA

X-14 = 0

• AHORA PASAMOS EL -14 AL LADO DERECHO PERO COMO POSITIVO Y OBTENEMOS EL RESULTADO

X= 14

EJERCICIOS EN CLASE

EJERCICIOS EN CLASE

• AQUÍ TENEMOS UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO LO PRIMERO QUE HACEMOS ES VERIFICAR QUE PODEMOS O COMO PODEMOS RESOLVER LA ECUACIÓN, NOS DAMOS CUENTA QUE PONEMOS IGUALARLO A CERO.

6X – 1  -   3(X+2)   =   1 + 3X

  18           5X-6               9 

• UNA VEZ QUE ESTA IGUALADO A CERO SACAMOS EL MÍNIMO COMÚN DIVISOR

6X – 1  -   3X+6   -  1 + 3X   =  0

18              5X-6            9  

• YA SACADO EL MÍNIMO COMÚN DIVISOR EMPEZAMOS A DIVIDIR PARA CADA UNO DE LOS DENOMINADORES YA A MULTIPLICARLOS POR LOS NUMERADORES

(6X – 1)(5X-6)-18(3X+6)- 2(5X-6)(1 + 3X)= 0

                             18(5X-6)

• AHORA MULTIPLICAMOS LOS NUMERADORES 

6X-1

5X-6           

30X²-5X-36X-6

3X+6

     18 

54X+108

10X-6

  1+3X           

10X-6+30X²-18X

• UNA VEZ MULTIPLICADOS LOS NUMERADORES PASAMOS EL DENOMINADOR A MULTIPLICAR AL CERO 

30X²-5X-36X-6-54X+108-10X-6+30X²-18X =0(18(5X-6))

• YA TERMINADO TODAS LAS MULTIPLICACIONES EL EJERCICIO NOS QUEDA DE LA SIGUIENTE MANERA

30X²-5X-36X-6 -54X+108-10X-6+30X²-18X= 0 

• AHORA PASAMOS EL TERMINO QUE AVIAMOS PASADO AL PRINCIPIO AL OTRO LADO

30X²-5X-36X-6 - 54X+108  = 10X+6-30X²⁺18X

• YA PASADO EL TERMINO COMENZAMOS A SIMPLIFICAR Y A REDUCIR TERMINOS

30X²-5X-36X-6 - 54X+108 =  10X+6-30X²-18X  

• UNA VEZ REDUCIDOS TERMINOS NOS A QUEDADO ASI LA ECUACION

-95X + 102 = -8X +6

• EN ESTE PASO PASAMOS LAS X AL LADO IZQUIERDO Y LOS QUE NO TENEN X AL LADO DEREXO

-95X+8X = 6-102

• UNA VEZ QUE YA ESTA PASADA LA X RESOLVEMOS LA SUMA O RESTA QUE TENGAMOS Y REDUCIMOS

 -87X = -96

• AHORA PASAMOS EL NUMERO QUE ESTA MULTIPLICANDO A LA X AL OTRO LADO A DIVIDIR

X=-96

     -87

EJERCICIOS EN CLASE

EJRCICIO EN CLASES 

• AQUI TENEMOS UN EJERCICIO DE ECUACION DE PRIMER GRADO LO PRIMERO QUE HACEMOS VER COMO LO PODEMOS RESOLVER Y AQUI VEMOS QUE PODEMOS PASAR LO QUE ESTA DIVIDIENDO A MULTIPLICAR AL OTRO LADO O QUE ESTA A LA IZQUIERDA A LA DERECHA Y LO DE LA DERECHA PASA A LA IZQUIERDA

2x+7  =  2x-1

5x+2      5x-4

• UNA VEZ PASADO A MULTIPLICAR PROCEDEMOS Y REALIZAMOS LA MULTIPLICACION

(5x-4) (2x+7)  = (2x-1) (5x+2)     

• ESTA ES LA FORMA DE MULTIPLICAR SE MULTIPLICA EL PRIMER TERMINO PARA TODOS Y ASI MISMO EL SEGUNDO 

                   2x+7                                             2x-1

                  5x-4                                              5x+2

10x²+35x-8x-28                                10x²-5x+4x-2    

• UNA VZ QUE ESTA MULTIPLICADO SIMPLIFICAMOS TERMINOS SEMEJANTES Y REDUCIMOS

10x²+35x-8x-28 = 10x²-5x+4x-2   

1. AQUI YA ESTA SIMPLIFICADO Y REDUCIDO Y VEMOS QUE PODEMOS PASAR EL 28 A DIVIDIR AL 26

          28x = 26

• YA PASADO AL OTRO LADO SE COMIENZA A SIMPLIFICAR

                        13

            X =  26

                    28

                    14

• Y POR ULTIMO OBTENEMOS LA REPUESTA

           X = 13

             14

EJERCICIOS EN CLASE

EJERCICIOS EN CLASES

Primero cambiamos las x al lado izquierdo

3x  +  3  =  3x  -2

5      15     10

Una vez que las x estan al lado derecho sacamos el minimo comun divisor

3x  +  3X  =  3   -2

5      10      15

Despues de haber sacado el minimo comun divisor procedemos a multiplicar y a simplificarlo por cada termino

6X-3X   =  -3-30

 10            15

Ya simplificado y multiplicado resolvemos las restas o las sumas q hay en el numerador

3X   =  -33

 10       15

Ahora simplificamos para reducir

             11

3X   =  -33

 10       15

            5

En esta ocasion la fracion q esta a lado de la x pasamos al otro lado a dividir 

3X   =  11

 10       5

Una vez ya pasadas vemos que podemos simplificar 

          11

X   =    5

          3 

         10 

Ya simplificado ahora vemos que podemos multiplicar extremos con extremos y medios con medios

          11

X   =    1

          3 

          2      

Y por ultimo obtenemos nuestra respuesta

X   =    22 

            3  

PRODUCTO NOTABLE

PRODUCTO NOTABLE

Reciben este nombre aquellos productos que se pueden determinar directamente, sin necesidad de efectuar la operación de la multiplicación. El estudiante no solo debe saber demostrar dichos productos, sino deberá memorizar, de tal modo que pueda reconocer tanto el producto a partir de los factores, como los factores a partir del producto.

CUADRADO DE LA SUMA DE  DOS MONOMIOS

El cuadrado de la suma de dos monomios es igual al cuadrado del primero, mas el doble producto del primero por el segundo, mas el cuadrado del segundo monomio.

EJEMPLO # 1:

(2a+3b)² = 

Primero: se toma el primer termino y se lo eleva  al cuadrado  (2a)² = 4a²

Segundo  se multiplica el duplo de la primera por la segunda 2(2a) (3b) =  12ab

Tercero se toma el segundo termino y se lo eleva al cuadrado  (3b)²  =  9b²

^{por ultimo el ejercicio queda de la siguiente manera:}

(2a+3b)² = (2a)²+2(2a)(3b)+(3b)² = 4a²+ 12ab + 9b²

^{EJEMPLO # 2:}

(√3X + 2)² = 

Primero: se eleva al cuadrado el primer  termino  (√3X)²   aquí se simplifica  la raíz con el exponente y queda de resultado 3x²   

Segundo: se multiplica el duplo de la primera por la segunda  2(√3X) (2) = aquí solo se multiplica el 2 por el 2 y la  raíz se deja tal como esta  4√3X

Tercero: se toma el segundo termino y se lo eleva al cuadrado (2)²  = 4

y el ejercicio nos quedo asi 

(√3X + 2)² = (√3X)²+2(√3X) (2)+ (2)² = 3x²+ 4√3X + 4

^{PRODUCTO DE LA SUMA DE DOS MONOMIOS POR SU DIFERENCIA}

^{El producto de la suma por la diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.}

EJEMPLO:

(5xy³+2z²)(5xy³-2z²) =  

Primero: se multiplica el primer  término del primer paréntesis con el primer término del segundo paréntesis  5xy³ por  5xy³  =  25 x²y⁶

Segundo: se multiplica el segundo término del primer paréntesis con el segundo término del segundo paréntesis  2z² por  2z²  =   4z⁴               

Tercero: como ay un signo positivo y negativo estos signos se multiplican y menos por mas es igual a menos                 

y la respuesta es la siguiente

(5xy³+2z²)(5xy³-2z²) = 25x² y⁶ – 4z⁴  

CUBO DE LA SUMA DE DOS MONOMIOS

^{El cubo de la suma de dos monomios es igual al cubo del primer monomio, mas el triple del cuadrado del primero por el segundo, mas el triple del primero por el cuadrado del segundo, mas el cubo del segundo monomio.}

EJEMPLO:

(2X + 3Y)³ = 

Primero: tomamos el primer termino y lo  elevamos al cubo  (2X)³  = 8x³    

Segundo: multiplicamos el triple del  cuadrado del primero por el segundo  3(2X)²(3Y) = 36x²y    

Tercero: multiplicamos el triple del primer por el cuadrado del segundo  3(2X) (3Y)²  =  54xy²   

Cuarto: tomamos el segundo término y lo elevamos al cubo (3Y)³  =  27y³  

^{y el resultado es el siguiente} 

(2X + 3Y)³= (2X)³+3(2X)²(3Y)+3(2X)(3Y)²+(3Y)³ =8x³+36x²y+54xy²+27y³ 

^{CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS MONOMIOS}

^{El cubo de la diferencia de dos monomios es igual al cubo del primer monomio, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, mas el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo monomio.}

^EJEMPLO:

(2Xy² + 3z⁴)³

Primero: tomamos el primer termino y lo  elevamos al cubo  (2Xy²)³ = 8x³ y⁶    

Segundo: multiplicamos el triple del  cuadrado del primero por el segundo  3 (2Xy²)²(3z⁴)= 36x²y⁴ z⁴   

Tercero: multiplicamos el triple del primer por el cuadrado del segundo  3(2Xy²) (3z⁴)²= 54xy² z⁸

Cuarto: tomamos el segundo término y lo elevamos al cubo (3Y)³  =  27z¹²

Y nuestro resultado es el siguiente

(2Xy² + 3z⁴)³ = (2Xy²)³-3 (2Xy²)²(3z⁴)-3(2Xy²) (3z⁴)²- (3z⁴)³  =  8x³ y⁶+ 36x²y⁴ z⁴+ 54xy² z⁸+ 27z¹²