VALOR ABSOLUTO

VALOR ABSOLUTO

¿QUE ES EL VALOR ABSOLUTO?

El valor absoluto de un número es, el mismo número si el número es positivo o cero, y el opuesto si el número es negativo.

Se suele decir que el valor absoluto de un número es el número sin tener en cuenta su signo. Por ejemplo: abs (5) = |5| = 5, abs ( 3´4) = |3´4| = 3´4 abs (-2 ) = | -2| = 2, abs ( 0) = |0| = 0, abs ( -34´7) = | -34´7| = 34´7

Sirve por ejemplo para calcular la distancia entre dos puntos: La distancia entre los puntos x = 5 y x = 7 es d = | 7 - 5| = 2

Claramente la distancia entre x = 7 y x = 5 es la misma por lo que d = | 5 - 7| = | -2| = 2

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los  anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

Objetivos de Aprendizaje

Encontrar el valor absoluto de números y expresiones.

Representar valores absolutos con declaraciones numéricas y en la recta numérica.

Introducción

El álgebra normalmente requiere que seamos cuidadosos no sólo con el tamaño y el valor sino también con el signo. No es lo mismo -10 que 10. 3 + 7 nos da un resultado distinto que 3 + (-7). Pero hay circunstancias en las que el signo no importa, en matemáticas y en la vida cotidiana. ¿Alguna vez has tropezado al bajar de unas escaleras eléctricas? No importa tanto si te estás moviendo más rápido o más lento que el suelo, es la magnitud de la diferencia la que te hace perder el equilibrio. O piensa en una larga caminata por el campo, tus pies se lastimarán sin importar si vas hacia el norte o hacia el sur. La dirección no importa, sólo la distancia.

En matemáticas, hay un concepto para tratar con situaciones donde el tamaño importa más que el signo. Se llama valor absoluto. El valor absoluto de un número consiste en su valor, sin importar su signo.

Valor absoluto – enfoque numérico

El valor absoluto puede ser explorado ya sea numérica o gráficamente. Numéricamente, el valor absoluto se indica encerrando el número, variable o expresión dentro de barras verticales, así:

|20|

|x|

|4n − 9|

Cuando tomamos el valor absoluto de un número, éste es siempre positivo o cero. Si el valor original ya es positivo o cero, el valor absoluto es el mismo. Si el valor original es negativo, simplemente nos deshacemos del signo. Por ejemplo, el valor absoluto de 5 es 5. El valor absoluto de -5 es también 5.

Recuerda, en situaciones de valor absoluto no estamos cambiando la posición ni la dirección de un número, sólo estamos ignorando esos detalles.

 Ten cuidado de no confundir las |barras de valor absoluto| con los (paréntesis) o los [corchetes]. No son los mismos símbolos, y las reglas que los evalúan son diferentes.

 Por ejemplo, -1(-3) = 3. Los signos negativos dentro y fuera de los paréntesis se cancelan cuando son multiplicados.

Pero -1|-3| = -3. No puedes multiplicar a través de las barras de valor absoluto, por lo que primero tienes que encontrar el valor absoluto del número contenido entre ellas. Como el valor absoluto de -3 es 3, la operación se convierte en -1(+3).

Cuando las barras de valor absoluto contienen una expresión que incluye operaciones, la expresión debe ser evaluada antes de encontrar el valor absoluto. Considera la expresión |6 − 4|. Antes de que podamos obtener el valor absoluto de la expresión, tenemos que efectuar la resta. Cuando hacemos eso, |6 − 4| se convierte |2|. Ahora podemos calcular el valor absoluto de la expresión — es el valor absoluto de 2, el cual es 2.

|6 − 4| = |2| = 2

De manera similar, para la expresión |15 − 21|, debemos realizar primero las operaciones dentro de las barras de valor absoluto.

|15 − 21| = |-6| = 6

¿Cuál de los siguientes es el valor correcto de |6 − 9|?

A) -3

B) 3

C) (-3)

D) 15

Respuesta:

A) -3

Incorrecto. El valor absoluto de un número es siempre positivo o cero. Si el número original es negativo, su valor absoluto es el mismo número sin el signo negativo. La respuesta correcta es 3.

 B) 3

Correcto. |6 − 9| = |-3| = 3.

 C) (-3)

Incorrecto. |6 − 9| = |-3|. Las barras de valor absoluto no son lo mismo que los paréntesis. La respuesta correcta es 3.

 D) 15

Incorrecto. 15 es 6 + 9. Debemos realizar la operación dentro de las barras antes de deshacernos del signo negativo. |6 − 9| = |-3| = 3. La respuesta correcta es 3.

¿COMO SE RESUELVE EL VALOR ABSOLUTO?

Vamos a empezar primero por la definición de valor absoluto.

El valor absoluto es una función el cual siempre devuelve un valor positivo. El valor absoluto se denota así:

f(x) = |x|

Y los posibles resultados son:

f(a) = |a| = a

f(-a) = |-a| = -(-a) = a

Lo anterior significa que si el argumento de la función valor absoluto es positivo, entonces la función devuelve su argumento sin tocarlo, si embargo, si el argumento es negativo entonces multiplica el valor del argumento por -1 y se vuelve positivo.

Un ejemplo numérico:

f(5) = |5| = 5

f(-5) = |-5| = -(-5) = 5

Fácil, verdad?

Ahora vamos a complicarlo un poco más, que pasaría si el argumento fuese una función en vez de un valor constante? es decir, que pasaría si se tiene lo siguiente?:

|2x - 1| =???

Pues habría dos posibles soluciones, partiendo de la definición de valor absoluto tendríamos:

|2x - 1| = 2x - 1 si x > 0

|2x - 1| = -(2x - 1) = 1 - 2x si x < 0

Y listo, problema resuelto. Pero el valor absoluto también se presente con desigualdades:
|x - 7| < 4

Como crees que se podría resolver esta desigualdad?
Pues de nuevo, partimos de la de f. de valor absoluto:
|x - 7| < 4 ==> x - 7 < 4 si x > 0

|x - 7| < 4 ==> -(x - 7) < 4 ==> 7 - x > -4 si x < 0

Fíjate lo que paso en la última desigualdad. Cambió el signo. Por qué? pues por que multiplicamos por -1 y cuando hacemos esto el signo de la desigualdad se invierte. Es decir si tenemos algo así:

x < 7 y multiplicamos por -1 quedaría:

-x > -7

EJEMPLOS: 

aquí les dejo un link de valor absoluto

http://www.youtube.com/watch?v=LT4iM0DVnr0

FUNCION

FUNCION

Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia de una función cuando de cada elemento del primer conjunto solamente sale una única flecha.

No estamos en presencia de una función cuando:

De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha.

De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas.

Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor.

A veces esta 'máquina' no funciona con determinados valores. Al conjunto de valores de la variable para los que la función existe (para los que la 'máquina' funciona) se llama dominio de definición de la función.

Una función obtiene un valor, pero esto no quiere decir que se obtengan todos los valores que se nos antojen. El conjunto de valores que se obtienen a partir del conjunto de valores del dominio de definición se llama recorrido de la función.

CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES

Función Inyectiva:

Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.

Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla depares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.

Ejemplo:

Función Sobreyectiva

Sea f una función de A en B, f es una función epiyectiva (también llamada sobreyectiva) , si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A , bajo f .

A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto de llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de algún elemento X del dominio.

Ejemplo:

A = { a , e , i , o , u }

B = { 1 , 3 , 5 , 7 }

f = { ( a , 1 ) , ( e , 7 ) , ( i , 3 ) , ( o , 5 ) , ( u , 7 ) }

Simbólicamente:

f: A B es biyectiva Û f es inyectiva y f es sobreyectiva

Ejemplo:

Función Biyectiva

Sea f una función de A en B , f es una función biyectiva , si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez .

Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es Inyectiva. En cambio, la función es Sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función BIYECTIVA.

Ejemplo:

A = { a , e , i , o , u }

B = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 }

f = { ( a , 5 ) , ( e , 1 ) , ( i , 9 ) , ( o , 3 ) , ( u , 7 ) }

ESTADÍSTICA

ESTADÍSTICA

La estadística es comúnmente considerada como una colección de hechos numéricos expresados en términos de una relación sumisa, y que han sido recopilados a partir de otros datos numéricos.

Kendall y Buckland (citados por Gini V. Glas / Julian C. Stanley, 1980) definen la estadística como un valor resumido, calculado, como base en una muestra de observaciones que generalmente, aunque no por necesidad, se considera como una estimación de parámetro de determinada población; es decir, una funcion de bvalores de muestra.

"La estadística es una técnica especial apta para el estudio cuantitativo de los fenómenos de masa o colectivo, cuya mediación requiere una masa de observaciones de otros fenómenos más simples llamados individuales o particulares". (Gini, 1953.

Murria R. Spiegel, (1991) dice: "La estadística estudia los métodos científicos para recoger, organizar, resumir y analizar datos, así como para sacar conclusiones válidas y tomar decisiones razonables basadas en tal análisis.

"La estadística es la ciencia que trata de la recolección, clasificación y presentación de los hechos sujetos a una apreciación numérica como base a la explicación, descripcion y comparación de los fenómenos". (Yale y Kendal, 1954).

Cualquiera sea el punto de vista, lo fundamental es la importancia científica que tiene la estadística, debido al gran campo de aplicación que posee. Otros autores tienen definiciones de la Estadística semejantes a las anteriores, y algunos otros no tan semejantes. Para Chacón esta se define como "la ciencia que tiene por objeto el estudio cuantitativo de los colectivos"; otros la definen como la expresión cuantitativa del conocimiento dispuesta en forma adecuada para el escrutinio y análisis. La más aceptada, sin embargo, es la de Minguez, que define la Estadística como "La ciencia que tiene por objeto aplicar las leyes de la cantidad a los hechos sociales para medir su intensidad, deducir las leyes que los rigen y hacer su predicción próxima".

Utilidad e importancia

Los métodos estadísticos tradicionalmente se utilizan para propósitos descriptivos, para organizar y resumir datos numéricos. La estadística discriptiva, por ejemplo trata de la tabulacion  de datos, su presentación en forma gráfica o ilustrativa y el calculo de medidas descriptivas.

Ahora bien, las técnicas estadísticas se aplican de manera amplia en mercadotecnia, contabilidad, control de calidad y en otras actividades; estudios de consumidores; análisis de resultados en deportes; administradores de instituciones; en educacion; organismos políticos; médicos; y por otras personas que intervienen en la toma de decisiones.

División de la Estadística

La Estadística para su mejor estudio se ha dividido en dos grandes ramas: la Estadística Descriptiva, la Inferencial e Inductiva.

Estadística Descriptiva

 Tienen por objeto fundamental describir y analizar las características de un conjunto de datos, obteniéndose de esa manera conclusiones sobre las características de dicho conjunto y sobre las relaciones existentes con otras poblaciones, a fin de compararlas. No obstante puede no solo referirse a la observación de todos los elementos de una población (observación exhaustiva) sino también a la descripción de los elementos de una muestra (observación parcial).

En relación a la estadística descriptiva, Ernesto Rivas González dice; "Para el estudio de estas muestras, la estadística descriptiva nos provee de todos sus medidas; medidas que cuando quieran ser aplicadas al universo total, no tendrán la misma exactitud que tienen para la muestra, es decir al estimarse para el universo vendrá dada con cierto margen de error; esto significa que el valor de la medida calculada para la muestra, en el oscilará dentro de cierto límite de confianza, que casi siempre es de un 95 a 99% de los casos.

Estadística Inferencial

se deriva de muestras, de observaciones hechas sólo acerca de una parte de un conjunto numeroso de elementos y esto implica que su análisis requiere de generalizaciones que van más allá de los datos. Como consecuencia, la característica más importante del reciente crecimiento de la estadística ha sido un cambio en el énfasis de los métodos que describen a métodos que sirven para hacer generalizaciones. La Estadística Inferencial investiga o analiza una población partiendo de una muestra tomada. Según Berenson y Levine; Estadística Inferencial son procedimientos estadísticos que sirven para deducir o inferir algo acerca de un conjunto de datos numéricos (población), seleccionando un grupo menor de ellos (muestra). El objetivo de la inferencia en investigacion cientifica y tecnológica radica en conocer clases numerosas de objetos, personas o eventos a partir de otras relativamente pequeñas compuestas por los mismos elementos.

En relación a la estadística descriptiva y la inferencial, Levin & Rubin (1996) citan los siguientes ejemplos para ayudar a entender la diferencia entre las dos.

Estadística Inductiva: Está fundamentada en los resultados obtenidos del análisis de una muestra de población, con el fin de inducir o inferir el comportamiento o característica de la población, de donde procede, por lo que recibe también el nombre de inferencia estadistica

Método Estadístico

El conjunto de los métodos que se utilizan para medir las características de la informacion, para resumir los valores individuales, y para analizar los datos a fin de extraerles el máximo de información, es lo que se llama métodos estadísticos. Los métodos de análisis para la información cuantitativa se pueden dividir en los siguientes seis pasos:

Población: El concepto de población en estadística va más allá de lo que comúnmente se conoce como tal. Una población se precisa como un conjunto finito o infinito de personas u objetos que presentan características comunes.

"Una población es un conjunto de todos los elementos que estamos estudiando, acerca de los cuales intentamos sacar conclusiones". Levin & Rubin (1996).

"Una población es un conjunto de elementos que presentan una característica común". Cadenas (1974).

Muestra: "Se llama muestra a una parte de la población a estudiar que sirve para representarla". Murria R. Spiegel (1991).

"Una muestra es una colección de algunos elementos de la población, pero no de todos". Levin & Rubin (1996).

"Una muestra debe ser definida en base de la población determinada, y las conclusiones que se obtengan de dicha muestra solo podrán referirse a la población en referencia", Cadenas (1974).

Muestreo: Esto no es más que el procedimiento empleado para obtener una o más muestras de una población; el nuestreo es una técnica que sirve para obtener una o más muestras de población.

Este se realiza una vez que se ha establecido un marco muestral representativo de la población, se procede a la seleccion de los elementos de la muestra aunque hay muchos diseños de la muestra.

Al tomar varias muestras de una población, las estadísticas que calculamos para cada muestra no necesariamente serían iguales, y lo más probable es que variaran de una muestra a otra.

Tipos de muestreo

Existen dos métodos para seleccionar muestras de poblaciones; el muestreo no aleatorio o de juicio y el muestreo aleatorio o de probabilidad En este último todos los elementos de la población tienen la oportunidad de ser escogidos en la muestra.

Una muestra seleccionada por muestreo de juicio se basa en la experiencia de alguien con la población. Algunas veces una muestra de juicio se usa como guía o muestra tentativa para decidir como tomar una muestra aleatoria más adelante. Las muestras de juicio evitan el análisis estadístico necesario para hacer muestras de probabilidad.

Datos estadísticos

Los datos estadísticos no son otra cosa que el producto de las observaciones efectuadas en las personas y objetos en los cuales se produce el fenómeno que queremos estudiar. Dicho en otras palabras, son los antecedentes (en cifras) necesarios para llegar al conocimiento de un hecho o para reducir las consecuencias de este.

Los datos estadísticos se pueden encontrar de forma no ordenada, por lo que es muy difícil en general, obtener conclusiones de los datos presentados de esta manera. Para poder obtener una precisa y rápida información con propósitos de descripción o análisis, estos deben organizarse de una manera sistemática; es decir, se requiere que los datos sean clasificados. Esta clasificación u organizacion puede muy bien hacerse antes de la recopilación

Clasificación de los datos

Los datos estadísticos pueden ser clasificados en cualitativos, cuantitativos, cronológicos y geográficos.

Datos Cualitativos

cuando los datos son cuantitativos, la diferencia entre ellos es de clase y no de cantidad.

Datos cuantitativos

cuando los valores de los datos representan diferentes magnitudes, decimos que son datos cuantitativos.

Datos cronológicos

cuando los valores de los datos varían en diferentes instantes o períodos de tiempo, los datos son reconocidos como cronológicos.

CONJUNTOS

CONJUNTOS

La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.

En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia.

La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.

Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c,..., x, y, z. que se puede escribir así:

{a, b, c,..., x, y, z}

Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({}), o separados por comas (,).

El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se denomina forma tabular, extensión o enumeración de los elementos.

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, por ejemplo:

El conjunto { a, b, c } también puede escribirse:

{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a }

En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo:

El conjunto {b, b, b, d, d} simplemente será {b, d}.

MEMBRESIA

Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A, B, C,... por ejemplo:

A= {a, c, b}

B= {primavera, verano, otoño, invierno}

El símbolo Î indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, bastará cancelarlo con una raya inclinada / quedando el símbolo como Ï.

Ejemplo:

Sea B= {a, e, i, o, u}, a Î B y c Ï B

SUBCONJUNTO

Sean los conjuntos A= { 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }

En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.

Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B Ì A. Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal Ë.

Note que Î se utiliza solo para elementos de un conjunto y Ì solo para conjuntos.

UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL

El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestra).

Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:

U= {1, 2, 3, 4, 5}

Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:

Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde N= {1, 2, 3,....}

Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde

Z= {..., -2, -1, 0, 1, 2,...}

Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos números enteros {fracciones}). Estos números se representan por una Q

Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos números enteros) representados por la letra I.

Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos, representados por R.

Todos estos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la forma de simbolizarlos por extensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se hace referencia tienen pocos elementos para poder trabajar con ellos se emplean la notación llamada comprensión.

Por ejemplo, la denotar el conjunto de los números naturales menores que 60. Aquí U es el conjunto N y se tiene una propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto: ser menores que 60.

Para indicar esta situación empleamos la simbología del álgebra de conjuntos:

{x/x Î N ; x<60 }

En esta expresión se maneja un conjunto de x que pertenece a los números naturales (N) y además que los valores de x son menores que 60.

Ahora si se desea trabajar con conjuntos que manejen intervalos estos pueden ser representados por medio de una expresión algebraica; supongamos que se desea expresar los números enteros (Z) entre -20 y 30 el conjunto quedaría de la manera siguiente:

{x/x Î Z ; -20 £ x £ 30 }

También se puede expresar el valor de un conjunto indicando la pertenencia o no pertenencia a uno diferente, por ejemplo

L= {1, 3, 4, 6, 9}

P= {x/x Î N; X Ï L}

En el conjunto P se indica que los elementos x de un conjunto pertenecen a los números naturales y además x no pertenece al conjunto L.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNION

La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A U B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:

A U B = {x/x Î A ó x Î B}

Ejemplo: Sean los conjuntos A= {1, 3, 5, 7, 9} y B={ 10, 11, 12 }

A U B = {1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12}

INTERSECCION

Sean A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9} y B= {2, 4, 8, 12}

Los elementos comunes a los dos conjuntos son:{2, 4, 8}. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A Ω B, algebraicamente se escribe así:

A Ω B= {x/x î A y x Î B}

Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.

Ejemplo:

Sean Q= {a, n, p, y, q, s, r, o, b, k} y P= {l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }

Q Ω P= {a, b, o, r, s, y}

CONJUNTO VACIO

Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo ø

Por ejemplo:

Sean A= {2, 4, 6} y B= {1, 3, 5, 7} encontrar A Ω B.

A Ω B= { }

El resultado de A Ω B = { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como:

A Ω B = ø

CONJUNTOS AJENOS

Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos, es decir: Si A Ω B = ø  entonces A y B son ajenos.

COMPLEMENTO

El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprensión como:

A'= {x Є U/x y x € A}

Ejemplo:

Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A= {1, 3, 5, 7, 9} donde A Ì U

El complemento de A estará dado por:

A'= {2, 4, 6, 8}

DIFERENCIA

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por comprensión como:

A - B={ x/x Є A ; X € B }

Ejemplo:

Sea A= { a, b, c, d } y

B= { a, b, c, g, h, i }

A - B= { d }

En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no estén en B. Si la operación fuera B - Al resultado es

B – A = { g, h, i }

E indica los elementos que están en B y no en A.

DIAGRAMAS DE VENN

Los diagramas de Venn que de deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para encontrar relaciones entre conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas.

La manera de representar el conjunto Universal es un rectángulo, ó bien la hoja de papel con que se trabaje.

Un ejemplo de la representación del conjunto universal se muestra como

TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN, CONTINGENCIA.

TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN, 
CONTINGENCIA.

Con cinco conectivas lógicas básicas se construyen proposiciones compuestas que pueden ser tautologías, contradicciones o contingencias.

• Si la tabla de verdad de la proposición es siempre verdadera, independientemente de la verdad o falsedad de las proposiciones simples, entonces la expresión es tautológica.
• Si la tabla de verdad es siempre falsa, será una contradicción.
• Si es verdadera y falsa, la proposición es una contingencia.

TAUTOLOGÍA

Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera para todas las asignaciones de valores de verdad  para sus proposiciones componentes. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras.

Ejemplo:

CONTRADICCIÓN

Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras.

Ejemplo:

CONTINGENCIA

Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa, (combinación entre tautología y contradicción) según los valores de las proposiciones que la integran.

PROPOSICIONES COMPUESTAS Y CONECTIVOS LÓGICOS

PROPOSICIONES COMPUESTAS Y CONECTIVOS LÓGICOS.

Una proposición es compuesta si se puede partir en partes constitutivas que son a su vez proposiciones simples y están unidas por conectivos lógicos.

Comenzamos por hacer abstracciones de ciertas propiedades del lenguaje informal. En particular hacemos abstracción de las propiedades lógicas de las conectivas con las cuales combinamos proposiciones simples para formar proposiciones compuestas. Tenemos que hacer reglas precisas sobre el modo como estas conectivas combinan proposiciones y, para construir un álgebra necesitamos tener una manera simbólica de representar las proposiciones simples y también las conectivas.

No debemos olvidar que dentro de la esfera de la lógica tradicional, calcada sobre un gramaticismo un tanto confuso y discutible, el lenguaje corriente presenta ambigüedades. Por eso, en la lógica moderna se trata de simplificar y de purificar el lenguaje lógico de todo elemento que se preste a confusiones y de que, por la tanto, de lugar a malentendidos. Veamos por ejemplo, como ejemplo, lo siguiente:

Si quisiéramos expresar en términos de lógica simbólica la siguiente expresión

Lenguaje natural: "Pancho es un artista de cine y María se enojó"

Se traduciría en lenguaje simbólico en "p ^ q", en donde:

P = Pancho es un artista de cine

Q = María se enojo

^ = conjunción conectiva "y"

Por lo pronto vamos a considerar las siguientes conectivas (conectores lógicos), signos de importancia para el manejo de las traducciones al simbolismo lógico, así como para la determinación de verdad o falsedad de las proposiciones. El término "conectivas" se refiere a ciertas conjunciones lógicas que gobiernan las distintas fórmulas lógicas. Recordemos lo siguiente, según Moisés Chong: "llamamos proposiciones coligativa a aquellas proposiciones compuestas, es decir, son proposiciones que consisten en la unión de dos o más proposiciones", Y así, como se vio en el ejemplo anterior, la unión de las proposiciones componentes se efectúa mediante las conjunciones. La característica fundamental de toda proposición coligativa es que su verdad depende de la verdad de las proposiciones coligadas. He aquí las conectivas más corrientes:

• La negación
• La conjunción
• La disyunción inclusiva
• La disyunción exclusiva
• La condicional
• La bicondicional

CONECTIVOS LÓGICOS Y TABLA DE VERDAD.

A partir de los conectores u operadores lógicos, listado anteriormente, es posible formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones simples y conectadas entre sí por los conectores lógicos), sin embargo los criterios de verdad resultantes de los operadores lógicos están regidos por determinadas reglas de la lógica booleana que señalaremos a en forma posterior.

Pero para ser más preciso es necesario tener en cuenta que las proposiciones simples están determinadas por condiciones dialécticas de tiempo y espacio. Por ejemplo si se señala "llueve y no tengo paraguas", al construir la tabla de verdad es necesario resolver ¿en dónde? y ¿cuándo? La afirmación "llueve" se entiende en que es en ese momento y ese lugar y con una simple mirada al cielo sabemos si es cierto o falso. Hechas estas observaciones pasamos a revisar las reglas específicas que rigen a cada conector lógico.

LA NEGACIÓN

La negación se simboliza, generalmente por el signo "~". Este signo puede ser traducido en palabras, así: "no es el caso que" o, más brevemente, "no".

A partir de la teoría de conjuntos, establecimos si un elemento pertenece o no a un conjunto y se señaló que si no es elemento del conjunto, entonces es elemento del conjunto complemento. Por tanto la negación se refiere al conjunto complemento.

Se establece el siguiente principio para la negación lógica: la negación de un enunciado verdadero es falsa; la negación de un enunciado falso es verdadero. Lo que equivale a decir que la negación de la negación de una proposición verdadera es verdadera; y la negación de la negación de una proposición falsa es falsa. Además la conectiva no es la única de tipo singular del listado de conectores lógicos señalado anteriormente.

LA CONJUNCIÓN.

La conjunción es el operador correspondiente al término "y", siendo su símbolo más corriente el siguiente, "^", se le conoce como la multiplicación lógica. Expresado en el lenguaje matemático, la conjunción está regida por la ley asociativa, "(pq) r" equivale a decir "pqr". Pero también es de carácter conmutativo: "pq" y "qp" son irrelevantes en su orden.

La regla para establecer los criterios de verdad de la conectiva lógica conjunción es la siguiente:

• Una conjunción de enunciados en los cuales todos son verdaderos, es verdadera
• Una conjunción de enunciados en donde no todos son verdaderos es falsa.
• Lo que equivale a decir que basta que uno de sus componentes sea falsa para que toda la proposición sea falsa y sólo será verdadera en el caso de que ambos componentes lo sean.

El expresado anteriormente se resumen simbólicamente de la siguiente manera:

Ejemplo:

Sea el siguiente enunciado "el auto enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente en la batería"

Sean:

p= tiene gasolina el tanque

q = tiene corriente la batería

r = el auto enciende = p ^ q

La conclusión resultante es que para que el auto encienda se debe tener gasolina en el tanque y corriente en la batería, sino se tiene una de estas dos condiciones el auto no arrancará.

LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA

La disyunción inclusiva, llamada también, alternación, expresada ordinariamente mediante la palabra "o", simbólicamente se le representa por medio de la letra "v", colocada entre dos proposiciones. Sin embargo, la "o" en este caso no tiene carácter de encrucijada o de dilema, y se puede interpretar como " o uno u otro o ambos". Por ciertas analogías con el álgebra se le llama también suma lógica. La alternación posee, igualmente, la propiedad asociativa que consiste en la no importancia de la agrupación en relación con la verdad o la falsedad de una proposición dada. También es afectada por la ley conmutativa de que el orden de las alternativas no afecta a la alternación.

La regla de la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente:

• Una disyunción inclusiva es verdadera cuando por lo menos una de sus alternativas es verdadera; solamente será falsa si las dos lo son.

La tabla de verdad del enunciado anterior es como sigue:

Ejemplo:

Sea el siguiente enunciado "Una persona puede entrar al cine si compra boleto u obtiene un pase"

Sean:

p= compra boleto

q = obtiene un pase

r = una persona entra al cine = p v q

La conclusión resultante es obvia, puesto que para entrar al cine es necesario tener por lo menos una de las dos condiciones: comprar un boleto o tener un pase, si se tiene ambas también se puede entrar, si no tengo ninguna de las dos alternativas entonces no se puede entrar al cine.

LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

La disyunción exclusiva se simboliza pro el signo "v", corresponde a la expresión " o uno u otro, pero no ambos a la vez". Una de las propiedades de esta conectiva es la de ser conmutativa y la de poseer el carácter asociativo. Se puede mostrar la equivalencia de los esquemas proposicionales así como establecer que es inesencial la agrupación por la cual optemos. Ejemplos de expresiones afines a esta conectiva son " a menos que…" o "salvo que…"

La regla de la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente:

• Una disyunción exclusiva es verdadera cuando una de sus alternativas es verdadera; y será falsa si las dos alternativas son falsas o verdaderas.

La tabla de verdad del enunciado anterior es como sigue:

LA CONDICIONAL

La condicional, expresada por la frase "si,… entonces", se simboliza mediante el signo "→" colocado entre las dos proposiciones. La primera proposición lleva el nombre de antecedente y la segunda proposición la de consecuente. Algunos lógicos la denominan "proposición hipotética" o "proposición implicativa". La importancia de esta clase de proposiciones es la de que la utiliza frecuentemente en el lenguaje de las ciencias, particularmente en la ciencia de la física y en la matemática. El condicional, según veremos, es una conectiva para la cual importa el orden de las cláusulas, esto es, se trata de un conector no conmutativo. En este caso el antecedente es una condición suficiente respecto del consecuente y el consecuente es una condición necesaria respecto del antecedente.

La regla de la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente:

• La condicional será falsa sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en los demás caso será verdadera.

La tabla de verdad del enunciado anterior es como sigue:

Ejemplo:

Si se tiene lo proposición "Si un cuerpo se calienta, entonces se dilata", se observa que estamos diciendo es que la primera proposición "si el cuerpo se calienta" implica a la segunda proposición " entonces se dilata", pero no se afirma que el antecedente es verdadero, ni el consecuente es verdadero, puede ser que el cuerpo no se calentó y el cuerpo se dilato por causa de otros factores ajenos a la temperatura, un golpe

LA BICONDICIONAL

La bicondicional, expresada por la frase "si y solo sí…", denotada por el signo"↔", significa una relación bidireccional en donde ambas proposiciones se necesitan entre sí.

La regla de la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente:

La conectiva bicondicional será verdadera solamente si y solo si las dos sentencias que la componen son a la vez verdaderas o si son ambas falsas.

El expresado anteriormente se resumen simbólicamente de la siguiente manera