PROPOSICIONES
COMPUESTAS Y CONECTIVOS LÓGICOS.
Una
proposición es compuesta si se puede partir en partes constitutivas que son a
su vez proposiciones simples y están unidas por conectivos lógicos.
Comenzamos
por hacer abstracciones de ciertas propiedades del lenguaje informal. En
particular hacemos abstracción de las propiedades lógicas de las conectivas con
las cuales combinamos proposiciones simples para formar proposiciones
compuestas. Tenemos que hacer reglas precisas sobre el modo como estas
conectivas combinan proposiciones y, para construir un álgebra necesitamos
tener una manera simbólica de representar las proposiciones simples y también
las conectivas.
No debemos
olvidar que dentro de la esfera de la lógica tradicional, calcada sobre un
gramaticismo un tanto confuso y discutible, el lenguaje corriente presenta
ambigüedades. Por eso, en la lógica moderna se trata de simplificar y de
purificar el lenguaje lógico de todo elemento que se preste a confusiones y de
que, por la tanto, de lugar a malentendidos. Veamos por ejemplo, como ejemplo,
lo siguiente:
Si
quisiéramos expresar en términos de lógica simbólica la siguiente expresión
Lenguaje
natural: "Pancho es un artista de cine y María se enojó"
Se
traduciría en lenguaje simbólico en "p ^ q", en donde:
P = Pancho
es un artista de cine
Q = María se
enojo
^ =
conjunción conectiva "y"
Por lo
pronto vamos a considerar las siguientes conectivas (conectores lógicos), signos
de importancia para el manejo de las traducciones al simbolismo lógico, así como
para la determinación de verdad o falsedad de las proposiciones. El término
"conectivas" se refiere a ciertas conjunciones lógicas que gobiernan
las distintas fórmulas lógicas. Recordemos lo siguiente, según Moisés Chong: "llamamos
proposiciones coligativa a aquellas proposiciones compuestas, es decir, son
proposiciones que consisten en la unión de dos o más proposiciones", Y
así, como se vio en el ejemplo anterior, la unión de las proposiciones
componentes se efectúa mediante las conjunciones. La característica fundamental
de toda proposición coligativa es que su verdad depende de la verdad de las
proposiciones coligadas. He aquí las conectivas más corrientes:
- La negación
- La conjunción
- La disyunción inclusiva
- La disyunción exclusiva
- La condicional
- La bicondicional
CONECTIVOS
LÓGICOS Y TABLA DE VERDAD.
A partir de
los conectores u operadores lógicos, listado anteriormente, es posible formar
proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones simples y
conectadas entre sí por los conectores lógicos), sin embargo los criterios de
verdad resultantes de los operadores lógicos están regidos por determinadas
reglas de la lógica booleana que señalaremos a en forma posterior.
Pero para
ser más preciso es necesario tener en cuenta que las proposiciones simples
están determinadas por condiciones dialécticas de tiempo y espacio. Por ejemplo
si se señala "llueve y no tengo paraguas", al construir la tabla de
verdad es necesario resolver ¿en dónde? y ¿cuándo? La afirmación
"llueve" se entiende en que es en ese momento y ese lugar y con una
simple mirada al cielo sabemos si es cierto o falso. Hechas estas observaciones
pasamos a revisar las reglas específicas que rigen a cada conector lógico.
LA NEGACIÓN
La negación se
simboliza, generalmente por el signo "~". Este signo puede ser
traducido en palabras, así: "no es el caso que" o, más brevemente, "no".
A partir de
la teoría de conjuntos, establecimos si un elemento pertenece o no a un
conjunto y se señaló que si no es elemento del conjunto, entonces es elemento
del conjunto complemento. Por tanto la negación se refiere al conjunto
complemento.
Se establece
el siguiente principio para la negación lógica: la negación de un enunciado
verdadero es falsa; la negación de un enunciado falso es verdadero. Lo que
equivale a decir que la negación de la negación de una proposición verdadera es
verdadera; y la negación de la negación de una proposición falsa es falsa.
Además la conectiva no es la única de tipo singular del listado de
conectores lógicos señalado anteriormente.
LA
CONJUNCIÓN.
La conjunción
es el operador correspondiente al término "y", siendo su símbolo más
corriente el siguiente, "^", se le conoce como la multiplicación
lógica. Expresado en el lenguaje matemático, la conjunción está regida por la ley
asociativa, "(pq) r" equivale a decir "pqr". Pero también
es de carácter conmutativo: "pq" y "qp" son irrelevantes en
su orden.
La regla
para establecer los criterios de verdad de la conectiva lógica conjunción es la
siguiente:
- Una conjunción de enunciados en los cuales todos son verdaderos, es verdadera
- Una conjunción de enunciados en donde no todos son verdaderos es falsa.
- Lo que equivale a decir que basta que uno de sus componentes sea falsa para que toda la proposición sea falsa y sólo será verdadera en el caso de que ambos componentes lo sean.
El expresado
anteriormente se resumen simbólicamente de la siguiente manera:
Ejemplo:
Sea el
siguiente enunciado "el auto enciende cuando tiene gasolina en el tanque y
tiene corriente en la batería"
Sean:
p= tiene
gasolina el tanque
q = tiene
corriente la batería
r = el auto
enciende = p ^ q
La
conclusión resultante es que para que el auto encienda se debe tener gasolina
en el tanque y corriente en la batería, sino se tiene una de estas dos
condiciones el auto no arrancará.
LA
DISYUNCIÓN INCLUSIVA
La disyunción
inclusiva, llamada también, alternación, expresada ordinariamente mediante la
palabra "o", simbólicamente se le representa por medio de la letra "v",
colocada entre dos proposiciones. Sin embargo, la "o" en este caso no
tiene carácter de encrucijada o de dilema, y se puede interpretar como " o
uno u otro o ambos". Por ciertas analogías con el álgebra se le llama
también suma lógica. La alternación posee, igualmente, la propiedad asociativa
que consiste en la no importancia de la agrupación en relación con la verdad o
la falsedad de una proposición dada. También es afectada por la ley conmutativa de
que el orden de las alternativas no afecta a la alternación.
La regla de
la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente:
- Una disyunción inclusiva es verdadera cuando por lo menos una de sus alternativas es verdadera; solamente será falsa si las dos lo son.
La tabla de
verdad del enunciado anterior es como sigue:
Ejemplo:
Sea el
siguiente enunciado "Una persona puede entrar al cine si compra boleto u
obtiene un pase"
Sean:
p= compra
boleto
q = obtiene
un pase
r = una
persona entra al cine = p v q
La
conclusión resultante es obvia, puesto que para entrar al cine es necesario
tener por lo menos una de las dos condiciones: comprar un boleto o tener un
pase, si se tiene ambas también se puede entrar, si no tengo ninguna de las dos
alternativas entonces no se puede entrar al cine.
LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
La disyunción exclusiva se simboliza pro el signo "v",
corresponde a la expresión " o uno u otro, pero no ambos a la vez".
Una de las propiedades de esta conectiva es la de ser conmutativa y la de
poseer el carácter asociativo. Se puede mostrar la equivalencia de los esquemas
proposicionales así como establecer que es inesencial la agrupación por la cual
optemos. Ejemplos de expresiones afines a esta conectiva son " a menos
que…" o "salvo que…"
La regla de la tabla de verdad para esta conectiva lógica es
la siguiente:
- Una disyunción exclusiva es verdadera cuando una de sus alternativas es verdadera; y será falsa si las dos alternativas son falsas o verdaderas.
La tabla de verdad del enunciado anterior es como sigue:
LA
CONDICIONAL
La condicional,
expresada por la frase "si,… entonces", se simboliza mediante el
signo "→" colocado entre las dos proposiciones. La primera
proposición lleva el nombre de antecedente y la segunda proposición la de
consecuente. Algunos lógicos la denominan "proposición hipotética" o
"proposición implicativa". La importancia de esta clase de
proposiciones es la de que la utiliza frecuentemente en el lenguaje de las ciencias,
particularmente en la ciencia de la física y en la matemática. El
condicional, según veremos, es una conectiva para la cual importa el orden de
las cláusulas, esto es, se trata de un conector no conmutativo. En este caso el
antecedente es una condición suficiente respecto del consecuente y el
consecuente es una condición necesaria respecto del antecedente.
La regla de
la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente:
- La condicional será falsa sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en los demás caso será verdadera.
La tabla de
verdad del enunciado anterior es como sigue:
Ejemplo:
Si se tiene
lo proposición "Si un cuerpo se calienta, entonces se dilata", se
observa que estamos diciendo es que la primera proposición "si el cuerpo
se calienta" implica a la segunda proposición " entonces se
dilata", pero no se afirma que el antecedente es verdadero, ni el
consecuente es verdadero, puede ser que el cuerpo no se calentó y el cuerpo se
dilato por causa de otros factores ajenos a la temperatura, un golpe
LA
BICONDICIONAL
La bicondicional,
expresada por la frase "si y solo sí…", denotada por el signo"↔",
significa una relación bidireccional en donde ambas proposiciones se necesitan
entre sí.
La regla de
la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente:
La conectiva
bicondicional será verdadera solamente si y solo si las dos sentencias que la
componen son a la vez verdaderas o si son ambas falsas.
El expresado anteriormente se resumen simbólicamente
de la siguiente manera
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